Tứ diện trực tâm

     
a. Mang đến tứ diện ABCD tất cả AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng tỏ rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối lập của tứ diện kia vuông góc cùng với nhau. Tứ diện như vậy gọi là tứ diện trực tâm.. Câu đôi mươi trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao – bài bác 3: Đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

a. Mang đến tứ diện ABCD tất cả AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, những cạnh đối lập của tứ diện kia vuông góc với nhau. Tứ diện như vậy gọi là tứ diện trực tâm.

Bạn đang xem: Tứ diện trực tâm

b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :

i. ABCD là tứ diện trực tâm.

ii. Chân mặt đường cao của tứ diện hạ xuất phát từ một đỉnh trùng với trực trọng điểm của khía cạnh đối diện.

Xem thêm: Review Sách Ôn Thi Đại Học, 2021 Đáng Mua Nhất Dành Cho 2K3

iii. (AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2)

c. Chứng tỏ rằng bốn đường cao của tứ diện trực trọng tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó call là trực trọng tâm của tứ diện nói trên.

*

*

a. Kẻ AH ⊥ (BCD), H ϵ (BCD)

Ta tất cả (left{ matrix CD ot AH cr CD ot AB cr ight. Rightarrow CD ot left( ABH ight))

Mà bảo hành ⊂ (ABH) phải CD ⊥ bảo hành (1)Quảng cáo

Tương trường đoản cú (left{ matrix BD ot AH cr BD ot AC cr ight. Rightarrow BD ot left( ACH ight) Rightarrow BD ot CH,left( 2 ight))

Từ (1) cùng (2) suy ra H là trực trung ương tam giác BCD.

Xem thêm: Nhà Xe Vũ Hương Nha Trang Đà Lạt, Xe Vũ Hương

Ta có: (left{ matrix BC ot AH cr BC ot DH cr ight. Rightarrow BC ot left( ADH ight) Rightarrow BC ot AD.)

b. Theo minh chứng câu a ta bao gồm i ⇔ ii

Mặt khác ta có

(eqalign và AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 cr và Leftrightarrow overrightarrow AB ^2 + overrightarrow CD ^2 = overrightarrow AC ^2 + overrightarrow BD ^2 cr & Leftrightarrow overrightarrow AB ^2 + left( overrightarrow AD – overrightarrow AC ight)^2 = overrightarrow AC ^2 + left( overrightarrow AD – overrightarrow AB ight)^2 cr & Leftrightarrow overrightarrow AD .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB cr và Leftrightarrow overrightarrow AD .left( overrightarrow AC – overrightarrow AB ight) = 0 cr & Leftrightarrow overrightarrow AD .overrightarrow BC = 0 Leftrightarrow AD ot BC cr )

Tương từ bỏ AB ⊥ CD cùng AC ⊥ BD

Vậy i ⇔ iii

c. Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K vị trí AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH với BK giảm nhau bởi vì chúng thuộc mp(ABI)

tương tự tư đường cao của tứ diện trực tâm giảm nhau song một và không cùng nằm bên trên một khía cạnh phẳng nên chúng đồng quy.