Tìm Tập Hợp Điểm Thỏa Mãn Đẳng Thức Vecto

     

Bài viết phía dẫn phương pháp giải bài bác toán khẳng định điểm tuyệt tập thích hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ mang lại trước, trong khi là một số trong những ví dụ minh họa bao gồm lời giải cụ thể giúp độc giả nắm vững phương thức giải quyết dạng toán này.

Bạn đang xem: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Phương pháp giải toán:1. Xác định điểm $M$ đồng tình một đẳng thức vectơ đến trước:• Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng $overrightarrow OM = overrightarrow v $, trong số ấy điểm $O$ với vectơ $overrightarrow v $ vẫn biết.• Khi đó điểm $M$ trọn vẹn xác định.

Xem thêm: Những Bài Văn Tự Sự Hay Lớp 8 Hay Nhất 2020, Tổng Hợp Các Bài Văn Tự Sự Lớp 8

2. Xác định tập đúng theo điểm $M$ thoả mãn đẳng thức vectơ mang đến trước:Ta bao gồm thể đổi khác đẳng thức đã đến về một trong những dạng:• nếu $left| overrightarrow AM ight| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp những điểm $M$ là đường tròn chổ chính giữa $A$, bán kính $R$ giả dụ $R > 0$; $M ≡ A$ trường hợp $R = 0$; là tập rỗng trường hợp $R • giả dụ $left| overrightarrow MA ight| = kleft| overrightarrow BC ight|$ ($A$, $B$, $C$ mang lại trước) thì tập vừa lòng điểm $M$ là đường tròn trung tâm $A$, nửa đường kính bằng $k.BC.$• ví như $left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MB ight|$ cùng với $A$, $B$ cho trước thì $M$ thuộc con đường trung trực của đoạn $AB.$• nếu như $overrightarrow MA = koverrightarrow BC $ ($A$, $B$, $C$ mang đến trước) thì tập đúng theo điểm $M$ là:+ Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ giả dụ $k ∈ R.$+ Nửa con đường thẳng qua $A$ song song cùng với $BC$ theo phía $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^+ .$+ Nửa con đường thẳng qua $A$ song song cùng với $BC$ theo phía ngược cùng với $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^- .$3. Khẳng định tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức của tích vô hướng:Ta bao gồm thể biến hóa đẳng thức tích vô phía đã đến về một trong những dạng (ngoài đông đảo trường phù hợp trên):• ví như $overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0$ ($A$, $B$ thay định) thì $M$ thuộc đường tròn 2 lần bán kính $АВ.$• trường hợp $overrightarrow MH .overrightarrow AB = 0$ ($H$ nuốm định, $overrightarrow AB $ vectơ ko đổi) thì tập phù hợp $M$ là mặt đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: cho tam giác $ABC.$a) xác định điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0.$b) xác định điểm $N$ thỏa mãn $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = overrightarrow 0 .$c) khẳng định điểm $P$ thỏa mãn $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ (với $K$ là vấn đề tùy ý).

Xem thêm: Ngồi Buồn Cắn Móng Tay Mp3, Lời Bài Hát Ngồi Buồn Cắn Móng Tay

*

a) điện thoại tư vấn $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow MJ = vec 0 .$Do đó: $J equiv M.$b) điện thoại tư vấn $E$ là trung điểm của $AC.$Ta có: $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NC + overrightarrow CA )$ $ – 2(overrightarrow NC + overrightarrow CB )$ $ + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow NC + overrightarrow CA – 2overrightarrow CB = overrightarrow 0 $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow CA – 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = (overrightarrow BA – overrightarrow BC ) + 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow BA + overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = 2overrightarrow BE $ xuất xắc $ overrightarrow CN = overrightarrow BE .$c) Ta có: $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow KC + overrightarrow CA + 2(overrightarrow KC + overrightarrow CB ) – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$Vì $A$, $B$, $C$ cho trước bắt buộc $overrightarrow a = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB $ xác định. Vậy tập vừa lòng điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$

Ví dụ 2: mang lại tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$a) search tập thích hợp điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $MB^2 + 2MC^2 = k.$b) kiếm tìm tập phù hợp điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$

*

Ta có: $MB^2 + 2MC^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB ^2 + 2overrightarrow MC ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow MI + overrightarrow IB )^2 + 2(overrightarrow MI + overrightarrow IC ) = k$ $ Leftrightarrow 3MI^2 + 2overrightarrow MI (overrightarrow IB + 2overrightarrow IC )$ $ + IB^2 + 2IC^2 = k.$Gọi $I$ là vấn đề sao mang lại $overrightarrow IB + 2overrightarrow IC = vec 0$ với $IC = fraca3$, $IB = frac2a3.$Khi đó: $ – 3MI^2 = IB^2 + 2IC^2 – k.$Suy ra: $MI^2 = frac3k – 2a^29.$Vậy:+ nếu $3k – 2a^2 + trường hợp $3k – 2a^2 = 0$ $ Leftrightarrow k = frac23a^2$, khi ấy $M equiv I.$+ nếu như $3k – 2a^2 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac23a^2$, khi ấy tập hòa hợp $M$ là mặt đường tròn trọng điểm $I$, bán kính $R = frac13sqrt 3k – 2a^2 .$b) gọi $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $overrightarrow NA + overrightarrow NB + overrightarrow NC = 3overrightarrow NG .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ + 2(overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA )$ $ = 9NG^2.$Khi đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – left( NA^2 + NB^2 + NC^2 ight)2.$Mặt khác: $overrightarrow NA = overrightarrow NG + overrightarrow GA $ $ Rightarrow NA^2 = NG^2 + GA^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GA .$Tương tự:$NB^2 = NG^2 + GB^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GB .$$NC^2 = NG^2 + GC^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GC .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ = 3NG^2 + 3GA^2$ $ + 2overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3NG^2 + 3left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2$ $ = 3NG^2 + a^2.$Từ đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – 3NG^2 – a^22$ $ = 3NG^2 – fraca^22.$Mà $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$Nên $3NG^2 – fraca^22 = frac5a^22$ $ Rightarrow NG^2 = a^2$ hay $GN = a.$Vậy tập phù hợp điểm $N$ là con đường tròn trung khu $G$ nửa đường kính là $a.$

Ví dụ 3: đến tứ giác $ABCD.$a) khẳng định điểm $O$ sao cho $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD .$b) tra cứu tập hòa hợp điểm $M$ vừa lòng hệ thức $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|.$

*

a) Ta có: $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD $ $ Leftrightarrow overrightarrow OB + 4(overrightarrow OB + overrightarrow BC )$ $ = 2(overrightarrow OB + overrightarrow BD )$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow BD – 4overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2(overrightarrow BD – overrightarrow BC ) – 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow CD + 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 4overrightarrow CI $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ Leftrightarrow overrightarrow OB = frac43overrightarrow CI .$Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $overrightarrow IN = frac43overrightarrow IC .$b) Ta có: $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| overrightarrow MO + overrightarrow OB + 4(overrightarrow MO + overrightarrow OC ) – 2(overrightarrow MO + overrightarrow OD ) ight|$ $ = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| 3overrightarrow MO ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ vì chưng $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC – 2overrightarrow OD = vec 0.$Do đó: $left| overrightarrow MO ight| = left| overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow MO = MA.$Vậy tập đúng theo $M$ là mặt đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Ví dụ 4: đến tam giác $ABC$ vuông trên $A.$ Điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác tất cả hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo trang bị tự là $D$, $E$, $F.$a) tìm tập hòa hợp điểm $M$ biết rằng $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương cùng với $overrightarrow BC .$b) tra cứu tập hợp những điểm $M$ hiểu được $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight| = left| overrightarrow MA ight|.$

a)

*

Ta có: $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = overrightarrow MD + overrightarrow MA .$Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$Khi kia $overrightarrow MD + overrightarrow MA = 2overrightarrow MI .$Vậy $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 2overrightarrow MI .$Để $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương cùng với $overrightarrow BC $ thì $overrightarrow MI $ thuộc phương $overrightarrow BC .$Suy ra: $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow PQ $ (với $PQ$ là con đường trung bình của tam giác $ABC$ tuy vậy song với cạnh $BC$).Do kia tập phù hợp $M$ là đoạn $PQ.$b)

*

Gọi $M’$ là điểm trên đường cao $AH$ làm thế nào để cho $AM’ = MD$, có nghĩa là $AMDM’$ là hình bình hành.Ta có: $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight|$ $ = left| overrightarrow MD + overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MA ight|.$Suy ra: $left| overrightarrow MM’ ight| = left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow M’D ight|.$Dễ thấy $MD = frac23AH.$Vậy $M$ nằm trên đường thẳng tuy nhiên song cùng với $BC$, biện pháp $BC$ một khoảng tầm bằng $frac23AH$ tuy nhiên trừ phần lớn điểm nằm phía xung quanh tam giác $ABC.$

Ví dụ 5: cho điểm $A$, $B$ cố định với $AB = a.$a) search tập hợp điểm $M$ sao để cho $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2.$b) tìm kiếm tập hợp điểm $N$ thỏa: $NA^2 + 2NB^2 = k$ ($k$ là hằng số thực dương).

a) Ta có: $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + (overrightarrow MA + overrightarrow AB ).overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB + overrightarrow AB ^2 = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB = 0$ $ Leftrightarrow quad overrightarrow MA .(overrightarrow MA + overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0.$Vậy tập hợp điểm $M$ là con đường tròn đường kính $AB.$b) call $I$ là vấn đề sao đến $overrightarrow IA + 2overrightarrow IB = vec 0$, vì $A$, $B$ cố định và thắt chặt nên $I$ núm định.Ta có: $NA^2 + 2NB^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA ^2 + 2overrightarrow NB ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NI + overrightarrow IA )^2 + 2(overrightarrow NI + overrightarrow IB )^2 = k$ $ Leftrightarrow NI^2 + 2overrightarrow NI .overrightarrow IA + IA^2$ $ + 2NI^2 + 4overrightarrow NI .overrightarrow IB + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 + 2overrightarrow NI (overrightarrow IA + 2overrightarrow IB )$ $ + IA^2 + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 = k^2 – left( IA^2 + 2IB^2 ight)$ $ Leftrightarrow NI^2 = frac13left( k^2 – 6IB^2 ight)$ $NI^2 = frac13left( k^2 – frac2a^23 ight)$ (vì $IB = frac13AB$).Vậy:+ nếu như $k^2 > frac2a^23$ thì tập hòa hợp điểm $N$ là đường tròn chổ chính giữa $I$, nửa đường kính $R = sqrt frac13left( k^2 – frac2a^23 ight) .$+ nếu $k^2 = frac2a^23$ thì tập đúng theo điểm $N$ chính là $I.$+ giả dụ $k^2 Ví dụ 6: đến tam giác $ABC$ rất nhiều cạnh bằng $a.$a) tìm kiếm tập hòa hợp điểm $M$ thỏa $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0.$b) tra cứu tập hòa hợp điểm $N$ thỏa $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2.$c) search tập vừa lòng điểm $P$ thỏa $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2.$

a) call $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta gồm $I$, $J$ nắm định.Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI .2overrightarrow MJ = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MI .overrightarrow MJ = 0.$Vậy tập hợp điểm $M$ là con đường tròn đường kính $IJ.$b) điện thoại tư vấn $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$Ta có: $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NG + overrightarrow GA )^2 + (overrightarrow NG + overrightarrow BG )^2$ $ + (overrightarrow NG + overrightarrow GC )^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2.$Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$Vậy $3NG^2 = 3a^2 Leftrightarrow NG^2 = a^2.$Do đó tập vừa lòng điểm $N$ là con đường tròn vai trung phong $G$ bán kính bằng $a.$c) Ta có: $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2$ $ Leftrightarrow 3(overrightarrow PG + overrightarrow GA )^2$ $ = 2(overrightarrow PG + overrightarrow GB )^2 + (overrightarrow PG + overrightarrow GC )^2$ $ Leftrightarrow 3PG^2 + 6overrightarrow PG .overrightarrow GA + 3GA^2$ $ = 2PG^2 + 4overrightarrow PG .overrightarrow GB + 2GB^2$ $ + PG^2 + 2overrightarrow PG .overrightarrow GC + GC^2$ $ Leftrightarrow 6overrightarrow PG .overrightarrow GA – 4overrightarrow PG .overrightarrow GB – 2overrightarrow PG .overrightarrow GC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG (3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC ) = 0.$Mặt khác: $3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC $ $ = 3overrightarrow GA – 2(overrightarrow GA + overrightarrow AB ) – (overrightarrow GA + overrightarrow AC )$ $ = – (2overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Gọi $H$ là điểm sao mang đến $2overrightarrow HB + overrightarrow HC = 0.$Khi kia $2overrightarrow AB + overrightarrow AC $ $ = 2(overrightarrow AH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow AH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow AH .$Suy ra đẳng thức sẽ cho biến hóa $overrightarrow PG .overrightarrow 3AH = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG .overrightarrow AH = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $P$ là con đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $AH.$