Tìm lim(xsin(1/x)) khi x tiến tới vô cùng

     

Giả sử rằng bạn đã biết khái niệm đường tròn đơn vị và một vài tính hóa học của góc lượng giác và cạnh trong đường tròn solo vị, câu hỏi này buộc phải thêm triết lý của giới hạn kẹp nữa.Bạn đã xem: hiểu được lim x tiến tới 0 của sinx / x =1

Đầu tiên, họ nên biết một chút ít về số lượng giới hạn kẹp.Bạn vẫn xem: tìm kiếm lim(xsin(1/x)) lúc x tiến cho tới vô cùng

Giả sử ta có một vài $b$ bị kẹp thân hai số $a$ với $c$ như sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ và $c$ cùng bằng một số trong những $ extL$ làm sao đó, chính vì $b$ bị kẹp giữa $a$ với $c$ đề nghị ta có thể suy ra được $b$ cũng bằng $ extL$, vấn đề đó là trọn vẹn hợp tình vừa lòng lý.

Bạn đang xem: Tìm lim(xsin(1/x)) khi x tiến tới vô cùng

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta quan trọng tính thẳng $b$ khi $x o 0$ được, ta nên tìm ra hai số lượng giới hạn $a$ cùng $c$ nhằm kẹp giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi tiếp đến đi tính $a$ và $c$, kia là ý tưởng phát minh của bài toán này, làm nắm nào để tìm $a$ cùng $c$, ta vẫn phải nhờ vào tính chất của các góc lượng giác cùng cạnh trong đường tròn solo vị.


*

Gọi $ heta$ (thay thay cho $x$) là góc được tạo nên bởi nửa đường kính đường tròn $ extOA$ với $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong con đường tròn đối chọi vị, độ dài chào bán kính luôn luôn bằng $1$, tức là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

Khi nói $ heta$ tiến tới $0$, có nghĩa là $ heta$ hoàn toàn có thể tiến từ bỏ số dương (vùng I) về $0$, cũng hoàn toàn có thể tiến từ bỏ số âm (vùng IV) về $0$, vậy để đảm bảo độ lâu năm $ extAD$ luôn đúng, ta cần thêm dấu cực hiếm tuyệt đối,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ lâu năm đoạn $ extAD$, ta có thể tính diện tích s tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = frac2$$

Tiếp theo, ta đề xuất tính diện tích s cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung tất cả đường màu sắc vàng), ta biết rằng cả một hình trụ đơn vị sẽ có được hệ số góc là $2 pi$ radian với có diện tích là $1 pi$ radian, vậy một phần nhỏ của hình tròn trụ (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ tiến hành tính bằng phương pháp lấy hệ số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho tất cả hệ số góc của hình trụ sau đó nhân với diện tích của nó đúng không nào nào.

Xem thêm: Cho Bạn Trai Bú Có Sao Không, Tại Sao Con Trai Thích Sờ Ngực Con Gái

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương tự với lí vì chưng như trên, ta cần được thêm giá bán trị tuyệt đối hoàn hảo vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2$$

Tiếp theo, tính diện tích s của tam giác $ extOBC$, ta cần tính độ nhiều năm cạnh $BC$ với,

$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$

Suy ra diện tích s tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$

Tương tự với lí vày như trên, ta cần được thêm giá bán trị tuyệt vời vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac2$$

Dựa vào hình trên, ta hoàn toàn có thể đưa ra một bất đẳng thức xác minh rằng diện tích tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ hơn diện tích s đường cung $stackrelfrown extOAC$ cùng luôn nhỏ hơn diện tích s tam giác $ extOBC$, hay,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế các tác dụng tính diện tích s vào, ta có,

$$frac2 leq frac2 leq frac2$$

Bây giờ làm vậy nào để biểu thức nghỉ ngơi giữa vươn lên là $fracsin heta heta$ để vận dụng định lý kẹp thì quá tuyệt vời, đó là điều bọn họ mong muốn. Đầu tiên, nhân từng biểu thức vào bất đẳng thức cho $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Khai triển $| an heta|$, ta có,

$$|sin heta| leq | heta| leq frac$$

Tiếp tục phân tách mỗi biểu thức vào bất đẳng thức cho $|sin heta|$, ta được,

$$fracsin heta leq fracsin heta leq fracleft( fraccos heta ight)$$

Rút gọn gàng một xíu,

$$1 leq frac heta leq frac1$$

Thực hiện đảo ngược tử số và chủng loại số của từng biểu thức trong bất đẳng thức, khi đảo ngược, dấu của bất đẳng thức sẽ cầm đổi,

$$1 geq fracsin heta geq |cos heta|$$

Bây giờ xét vết của quý giá tuyệt đối,

Đối với biểu thức $frac$, khi $ heta$ tiến tự vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn sẽ dương, khi $ heta$ tiến tự vùng âm (vùng IV) về $0$, kết quả sẽ bằng $frac-sin heta- heta$ chắc chắn cũng đã dương.

Đối với biểu thức $|cos heta|$, khi $ heta$ tiến về $0$ là các giá trị nằm trên trục $Ox$, có nghĩa là đoạn trực tiếp $ extOC$, mang lại nên kết quả $cos heta$ luôn luôn dương.

Xem thêm: Lời Bài Hát Nơi Nào Có Em Sẽ Là Nhà, Lời Bài Hát Nơi Nào Có Em (Tiên Cookie)

Vậy, ta có thể bỏ dấu giá trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức bên trên chỉ đúng trong các miền cực hiếm từ $fracpi2$ cho $frac-pi2$, có nghĩa là trong vùng I cùng vùng IV của mặt đường tròn đối kháng vị, chính vì $ heta$ tiến cho tới $0$ cho nên vì vậy nó chỉ nằm trong hai khoảng này, bọn họ không đề nghị xét thêm hai vùng sót lại kia.

Bây giờ, đã đến lúc thêm giới hạn vào các biểu thức con trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta có,

$lim_ heta o 0 1 = 1$$lim_ heta o 0 cos heta = cos 0 = 1$

Đã đến lúc sử dụng định lý giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp giữa hai giới hạn $lim_ heta o 0 1$ cùng $lim_ heta o 0 cos heta$, mà bọn họ đã tính được công dụng ở 2 số lượng giới hạn kẹp cùng đều bằng $1$, vì vậy giới hạn làm việc giữa chắc hẳn rằng cũng sẽ bằng $1$,