Giải Toán 12 Bài 2 : Tích Phân
Bài 2. Tích phân thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
I. Cầm tắt triết lý tích phân
1. Định nghĩa tích phân
Cho f là hàm số thường xuyên trên đoạn
Ta dùng kí hiệu
Bạn đang xem: Giải toán 12 bài 2 : tích phân
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a cho b có thể kí hiệu bởi
Ý nghĩa hình học tập của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và ko âm trên đoạn
2. đặc điểm của tích phân
II. Tài năng giải bài bác tập về tích phân
1. Một số cách thức tính tích phân
Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính những tính phân sau:
Hướng dẫn:
Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất
Ví dụ 2: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Nhận xét:
Dạng 3: phương pháp đổi thay đổi số
1) Đổi biến đổi số dạng 1
Cho hàm số f liên tiếp trên đoạn
Ví dụ 3: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Đặt u = sinx. Ta tất cả du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1
Khi đó
Dấu hiệu nhận ra và phương pháp tính tính phân
2) Đổi phát triển thành số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và gồm đạo hàm trên đoạn
Một số phương thức đổi biến: Nếu biểu thức dưới vết tích phân bao gồm dạng
Lưu ý: Chỉ nên áp dụng phép để này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi cùng với x nón chẵn. Ví dụ, nhằm tính tích phân
Ví dụ 4: Tính những tích phân sau:
a) Đặt x = sint ta gồm dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.
Vậy
b) Đặt x = tant, ta tất cả dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận:
Vậy
Dạng 4: phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : trường hợp u = u(x) và v = v(x) là nhì hàm số bao gồm đạo hàm và liên tục trên đoạn
hay viết gọn là
| Dạng hàm | P(x): Đa thức Q(x): sin(kx) giỏi cos(kx) | P(x): Đa thức Q(x): ekx | P(x): Đa thức Q(x): ln(ax + b) | P(x): Đa thức Q(x): 1/sin2x tốt 1/cos2x |
| Cách đặt | * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới vết tích phân | * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân | * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx | * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
Ví dụ 5: Tính những tích phân sau :
Hướng dẫn:
a) Đặt
Do đó
b) Đặt
III. Chỉ dẫn trả lời thắc mắc bài tập tích thân lớp 12 bài xích 2 sgk
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài bác 2 trang 101:
Kí hiệu T là hình thang vuông số lượng giới hạn bởi con đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai tuyến đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).
1. Tính diện tích S của hình T lúc t = 5 (H.46).
Xem thêm: Bài Tập Trắc Nghiệm Chương Cảm Ứng Điện Từ Có Lời Giải Chi Tiết (Cơ Bản)
2. Tính diện tích s S(t) của hình T khi x ∈ <1; 5>.
Lời giải:
1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là vấn đề có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của mặt đường thẳng x = 1 với x = 5 với mặt đường thẳng y = 2x + 1.
- lúc đó B cùng C sẽ sở hữu tọa độ thứu tự là (1,3) với (5,11).
- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang
2. Kí hiệu A là vấn đề có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C theo thứ tự là giao điểm của con đường thẳng x = 1 với x = 5 với con đường thẳng y = 2x + 1.
- khi đó ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).
- Ta gồm AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.
- khi đó diện tích hình thang
Lời giải:
- vì chưng F(x) và G(x) rất nhiều là nguyên hàm của f(x) đề nghị tồn trên một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C
- khi ấy F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích bài bác 2 trang 106:
Hãy chứng minh các tính chất 1 cùng 2.
Lời giải:
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài bác 2 trang 110:
a) Hãy tính ∫ (x + 1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
b) Từ kia tính
Lời giải:
IV. Hướng dẫn giải bài xích tập tích phân lớp 12 bài xích 2 sgk
Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân trường đoản cú a đến b của hàm số f(x) bao gồm nguyên hàm là F(x) là:
+ một vài nguyên hàm sử dụng:
Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) bao gồm nguyên hàm là F(x) là:
+ một số nguyên hàm sử dụng:
Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng cách thức đổi biến, hãy tính:
+ cách thức đổi vươn lên là số tính tích phân
Nếu hàm f(x) tiếp tục trên đoạn
Cách 1:
Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ"(t).dt
Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.
Đặt u = u(x) ⇒ du = u"(x)dx
Giả sử f(x) viết được dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)
Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng phương thức tích phân từng phần, hãy tính:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
Theo bí quyết tích phân từng phần:
Theo cách làm tích phân từng phần:
+ cách thức tích phân từng phần:
Giả sử f(x) = g(x).h(x).
Xem thêm: Phát Biểu Nào Sau Đây Đúng Khi Nói Về Quang Hợp Nhận Định Đúng Là Đúng:
Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
