CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ LỜI GIẢI

     

Hãy thuộc NDTLS giải hết 101 bài tập tứ giác nội tiếp. Kỹ năng và kiến thức hình học tập của các bạn sẽ được củng cố không ít để từ bỏ tin bước vào kì thi học tập sinh tốt cấp tỉnh cũng tương tự chuyên toán. Hãy xem thêm với cameraminhtan.vn nhé.

Bạn đang xem: Chuyên đề tứ giác nội tiếp có lời giải

Video bài tập về tứ giác nội tiếp

Bài tập minh chứng tứ giác nội tiếp PDF

Các bài toán về minh chứng tứ giác nội tiếp

Bài số 1:

Cho ABC vuông sinh sống A. Bên trên AC rước điểm M cùng vẽ mặt đường tròn 2 lần bán kính MC. Kẻ BM giảm đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn trên S. Chứng tỏ rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) hai góc ABD với ACD bằng nhau

c) CA là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn giải:

*

a) dễ thấy hai góc BAC và BDC cùng bởi 90 độ => ABCD nội tiếp.

b) Trong con đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác ABCD , hai góc ABD cùng ACD là nhì góc nội tiếp thuộc chắn cung AD nên bằng nhau

c) Trong con đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác ABCD , hai góc acb và ADB là nhì góc nội tiếp thuộc chắn cung AB nên bởi nhau.

Lại tất cả góc ADB = góc DSM + DMS = MCS

Phát triển bài toán: bài xích này hoàn toàn có thể hỏi thêm như minh chứng SH // AB

Bài số 2:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa con đường tròn 2 lần bán kính AD. Nhị đường chéo cánh AC cùng BD giảm nhau tại E. Vẽ EF vuông góc cùng với AD. Triệu chứng minh:

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của góc BCF

c) gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

Hướng dẫn giải:

*

a) dễ rồi nhé

b) Ta gồm hai góc C3 với D3 bằng nhau, hai góc ECF = D3 => đpcm

c) Ta lần lượt chứng minh góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3

=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM = 180 độ

Phát triển bài xích toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Bởi vậy hoàn toàn có thể hỏi thêm minh chứng E giải pháp đều 3 cạnh của tam giác BCF tốt E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Bài số 3: 

Tứ giác ABCD nội tiếp con đường tròn đường kính AD . Nhị đường chéo AC , BD giảm nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E bên trên AD là F . Đường trực tiếp CF cắt đường tròn trên điểm lắp thêm hai là M . Giao điểm của BD với CF là N . Chứng tỏ :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . Doanh nghiệp = EN . BD

Hướng dẫn giải:

a) Dễ

b) chứng tỏ tương tự bài 2 ta có góc F2 = F3

Ta chứng minh tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .

c) FA là tia phân giác của góc BFM buộc phải FD là phân giác của góc CFI

FE là phân giác của tam giác BFN nên BF/FN = BE/EN

FD là phân giác của góc quanh đó của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND

Vậy BE/EN = BD/ND => BE . Doanh nghiệp = EN . BD

Bài số 4: 

Cho tam giác ABC vuông nghỉ ngơi A với một điểm D nằm giữa A với B . Đường tròn 2 lần bán kính BD giảm BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt giảm đường tròn tại những điểm máy hai F , G . Chứng minh :

*
mang lại tam giác ABC vuông trên A cùng điểm D nằm trong lòng A cùng B. Đường tròn đường kính BD cắt BC trên E. Các - Tự học 365"/>

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC cùng AFBC nội tiếp được vào một mặt đường tròn .

c) AC tuy vậy song cùng với FG .

d) các đường trực tiếp AC , DE với BF đồng quy .

Bài số 5

a) dễ

b) centimet là phân giác của ∠BCS∠BCS Tứ giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADM Tứ giác CDAB nội tiếp ⇒góc BCM= góc ADM ⇒góc BCM=góc SCM ⇒CM là tia phân giác góc BCS

c) TA/TD=TC/TB Xét tam giác BCT AC với TN là 2 mặt đường cao giảm nhau trên M ⇒ BM vuông góc với CT nhưng CD vuông góc với MB ⇒C, D, T trực tiếp hàng dễ dàng cm được ΔTCA∼ΔTBD ⇒ đpcm

Bài số 7

*

Câu 1) Dễ

Câu 2) E nằm trê tuyến phố trung trực của AC nên chứng minh được: góc AEH = CEH = BEK

Chứng minh được nhì tam giác đồng dạng: AEH cùng BEK => góc BKE vuông

=> AHEK nội tiếp

Câu 3) Kẻ 2 lần bán kính AI => tam giác ABI vuông tại B, theo pytago ta có

Bài số 9 (Theo yêu cầu của bạn Dark)

Cho tam giác ABC không cân, con đường cao AH, nội tiếp trong con đường tròn trọng điểm O. Hotline E, F lắp thêm tự là hình chiếu của B, C lên 2 lần bán kính AD của đường tròn (O) với M, N lắp thêm tự là trung điểm của BC, AB. Bệnh minh:

a) tư điểm A, B, H, E thuộc nằm trê tuyến phố tròn tâm N với HE// CD.

b) M là trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác HEF

*

a) bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn trọng tâm N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bởi góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE nhưng góc BAE = góc BCD đề nghị góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc cùng với CD đề xuất HE vuôn góc với AC, lại sở hữu MN //AC vậy MN vuông góc cùng với HE

Ta chứng tỏ được EN = hn (cùng bởi nửa AB). Tam giác HNE cân tại N, NM là mặt đường cao bắt buộc cũng là đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng tỏ được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

Gọi I là trung điểm của AC. Chứng tỏ tương từ bỏ ta có IM //AB yêu cầu vuôn góc với BD với HF,

Tam giác HIF cân nặng tại I. Yên là đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo yêu cầu của bạn Thảo Chi)

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B thuộc thuộc một con đường tròn

b) trường hợp SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân tại A cùng B => SAOB là hình vuông.

c) chứng tỏ hai tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minh nhì tam giác SBC và SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta bao gồm (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minh nhị tam giác đồng dạng ACE với ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bằng góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minh nhì tam giác ngân hàng á châu acb và AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) với (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

Bài tập 12 (Bạn trangks2004 hỏi)

Cho nửa con đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến đường Bx và lấy nhị điểm C và D ở trong nửa con đường tròn. Các tia AC cùng AD cắt Bx lần lượt nghỉ ngơi E, F (F chính giữa B với E).

a) chứng minh AC. AE không đổi.

b) chứng tỏ góc ABD = góc DFB

c) minh chứng rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

a) Tam giác ABE vuông trên B, mặt đường cao BC => AC.AE = AB2 ko đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) vì cùng phụ cùng với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ (1) với (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13 (Theo đề nghị của người tiêu dùng Quý)

Trên đường thẳng d lấy tía điểm A,B,C theo máy tự đó. Bên trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ nhì tia Ax, By thuộc vuông góc cùng với d. Trên tia Ax rước I. Tia vuông góc với CI trên C cắt đường thẳng By tại K. Đường tròn 2 lần bán kính IC giảm IK trên P.

a) minh chứng tứ giác CBPK nội tiếp được con đường tròn .

b) chứng minh AI.BK = AC.CB

a) nhì góc KPC và KBC vuông => CBPK nội tiếp được mặt đường tròn .

b) minh chứng hai tam giác IAC với CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo yêu thương cầu của người sử dụng Linh Le)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ con đường cao AH, vẽ con đường tròn đường kính AH, con đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC trên F.

Xem thêm: Cách Bảo Quản Mỡ Trăn Nguyên Chất, Cách Bảo Quản Mỡ Trăn Trong Tủ Lạnh

a) minh chứng AEHF là hình chữ nhật.

b) triệu chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .

c) bệnh minh: AB.AE = AC.AF

d) call M tà tà giao điểm của CE cùng BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.

a) b) dễ

c) chứng tỏ AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta đã so sánh diện tích s 2 tam giác ABF cùng BEC

Gọi diện tích s tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH và BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo yêu thương cầu của người sử dụng Kuju)

Cho đường tròn (O; R), xuất phát từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trê tuyến phố thẳng d mang điểm M bất kể ( M khác A) kẻ mèo tuyến MNP và hotline K là trung điểm của NP, kẻ tiếp đường MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, hotline H là giao điểm của AC với BD, I là giao điểm của OM và AB.

a) chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

b) chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm bên trên một con đường tròn .

c) chứng minh OM = R2; OI. Yên ổn = IA2.

d) chứng minh OAHB là hình thoi.

e) chứng tỏ ba điểm O, H, M trực tiếp hàng.

f) kiếm tìm quỹ tích của điểm H lúc M di chuyển trên con đường thẳng d.

Hướng dẫn:

a) hai góc OAM và OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO cùng OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm trên một mặt đường tròn

c) minh chứng M, H, I, O trực tiếp hàng và MI vuông góc cùng với AB (vì OM cùng MH cùng vuông cùng với AB) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OAM, con đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông với BM), AO//BH (cùng vuông cùng với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm ở câu c

f) rước O’ đối xứng cùng với O qua A. Ta minh chứng được góc OHO’ = 90 độ. OO’ cố định

=> quỹ tích của điểm H lúc M dịch chuyển trên đường thẳng d là con đường tròn (A; AO)

Bài tập 19 (Theo yêu cầu của chúng ta Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C cố định và thắt chặt thẳng hàng theo lắp thêm tự. Vẽ mặt đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp tuyến đường AE và AF cùng với (O) (E; F là những tiếp điểm). điện thoại tư vấn I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm bên trên một đường tròn.

d) ED tuy nhiên song với AC.

e) lúc (O) đổi khác tâm mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn luôn thuộc một mặt đường thẳng chũm định.

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta minh chứng được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) điện thoại tư vấn J là giao điểm của EF và AC, ta tất cả OKJI nội tiếp bắt buộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK đó là đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác OKJI. Khi O thay đổi thì OK,OI, KJ chỉ gồm IJ ko đổi do EF, AC không đổi => chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp tứ giác OKJI luôn nằm trên đường trung trực thắt chặt và cố định của IJ.

Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác nội tiếp được vào một mặt đường tròn ta phải vận dụng linh hoạt các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, dưới đây là các phương pháp chứng minh cơ bản.

Phương pháp 1:

Sử dụng tính chất: ví như tổng số đo nhị góc đối lập của một tứ giác nội tiếp bằng 1800 thì tứ giác kia nội tiếp được trong một đường tròn.

Phương pháp 2:

Nếu tứ giác bao gồm một góc không tính tại một đỉnh bằng góc vào của đỉnh đối diện thì tứ giác kia nội tiếp được vào một đường tròn (Phương pháp này rất có thể coi như thể hệ trái của phương thức 1)

Phương pháp 3:

Nếu tứ giác gồm hai đỉnh kề nhau cùng quan sát đoạn thẳng nối nhị đỉnh sót lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được vào một con đường tròn.

Phương pháp 4:

Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác phương pháp đều 1 điều cố định.

Xem thêm: Top 19 Sử Dụng Yếu Tố Miêu Tả Trong Văn Bản Tự Sự Violet, Violet Parr

Nhận xét:

Đối với vấn đề trên ta rất có thể hoàn toàn minh chứng theo các phương pháp khác. Nhìn chung, ví như ta minh chứng được một tứ giác nội tiếp bằng cách thức này thì cũng có thể minh chứng được bằng phương pháp kia, điều đặc trưng là đề nghị hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp nào ngắn gọn, dễ dàng nắm bắt nhất.

Qua những Bài tập mẫu về minh chứng tứ giác nội tiếp làm việc trên ta thấy trong rất nhiều trường hòa hợp tứ giác cần chứng minh nội tiếp thuộc một trong những hai dạng sau đây: